Indizierte Mengenfamilie/Intervallschachtelung/Beispiel

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl und es sei ${}x_{n}$ diejenige rationale Zahl, die sich aus allen Vorkommaziffern und den ersten ${}n$ Nachkommaziffern von ${}x$ im Dezimalsystem ergibt. Wir definieren die Intervalle

${}M_{n}=\left[x_{n},x_{n}+{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n}\right]\subset \mathbb {R} \,.$

Dies sind Intervalle der Länge ${}{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n}$ und es ist

${}\{x\}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}\,.$

Die Familie ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ist also eine Intervallschachtelung für ${}x$.