Indizierte Mengenfamilie/Intervallschachtelung/Beispiel

Es sei $x$ eine reelle Zahl und es sei $x_n$ diejenige rationale Zahl, die sich aus allen Vorkommaziffern und den ersten $n$ Nachkommaziffern von $x$ im Dezimalsystem ergibt. Wir definieren die Intervalle

$M_n=[x_n,x_n+{\left(\frac{1}{10}\right)}^n]\subset ℝ.$

Dies sind Intervalle der Länge ${\left(\frac{1}{10}\right)}^n$ und es ist

$\{x\}=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{M}_n.$

Die Familie $M_n$, $n\in \mathbb{N}$, ist also eine Intervallschachtelung für $x$.