Indizierte Mengenfamilie/Sukzessive Potenzmengen/Beispiel

Es sei ${}M$ eine Menge. Für ${}n\in \mathbb {N}$ definieren wir rekursiv

$M_{0}=M{\text{ und }}M_{n}={\mathfrak {P}}\,(M_{n-1}){\text{ für }}n\geq 1.$

Man nimmt also jeweils von der Vorgängermenge die Potenzmenge. Ein Element aus dem Produkt

$(x_{n})\in \prod _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

besteht also in der nullten Komponenten aus einem Element aus ${}M$, in der ersten Komponenten aus einer Teilmenge von ${}M$, in der zweiten Komponenten aus einer Menge von Teilmengen von ${}M$ usw. Zwischen den einzelnen Mengen aus der Familie besteht keine Inklusionsbeziehung.