Induktion/Schokoladenzerlegung/Aufgabe/2/Lösung

Induktionsanfang für $\mathrm{\$}a=1,b=1\mathrm{\$}$:

Die $\mathrm{\$}a\cdot b=1$-Schokolade ist schon vollständig aufgeteilt, da sie aus $0$ Längs- und $0$ Querrillen besteht. Es werden also $0=a\cdot b-1$ Teilungsschritte benötigt.

Induktionsschritt von $a$ nach $a+1$ bzw. $b$ nach $b+1$:

Wenn man eine $n=a\cdot b$-Schokolade um eine Längs- oder Querreihe vergrößert, so kann man den 1. Teilungsschritt so legen, dass man danach wieder die ursprüngliche $n$-Schokolade plus eine $b\cdot 1$- bzw. eine $a\cdot 1$-Schokolade hat.

Für die ursprüngliche Schokolade weiß man schon, dass man $a\cdot b-1$ Teilungsschritte benötigt. Für den anderen Teil benötigt man $\mathrm{\$}b-1$ bzw. $a-1$ Telungsschritte.

Für die gesamte Schokolade benötigt man also inklusive des 1. Teilungsschritts $1+(a\cdot b-1)+(b-1)=b\cdot (a+1)-1$ bzw. $1+(a\cdot b-1)+(a-1)=a\cdot (b+1)-1$ Teilungsschritte.

Zur gelösten Aufgabe