Integral/Potenzen von Sinus/Rekursion/Beispiel

Eine Stammfunktion der Sinusfunktion $\sin x$ ist $-\cos x$. Um Stammfunktionen zu ${\sin }^{n}x$ zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu Potenzen mit kleinerem Exponenten zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von $0$ ausgehen, also für $0$ den Wert $0$ besitzen. Für  $n\ge 2$  ist mittels partieller Integration

$\begin{array}{cc}{\int }_0^x{\sin }^{n}tdt& ={\int }_0^x{\sin }^{n-2}t\cdot {\sin }^{2}tdt\\ & ={\int }_0^x{\sin }^{n-2}t\cdot (1-{\cos }^{2}t)dt\\ & ={\int }_0^x{\sin }^{n-2}tdt-{\int }_0^x({\sin }^{n-2}t\cos t)\cos tdt\\ & ={\int }_0^x{\sin }^{n-2}tdt-\frac{{\sin }^{n-1}t}{n-1}\cos t{|}_0^x-\frac{1}{n-1}\left({\int }_0^x{\sin }^{n}tdt\right).\end{array}$

Durch Multiplikation mit $n-1$ und Umstellen erhält man

$n{\int }_0^x{\sin }^{n}tdt=(n-1){\int }_0^x{\sin }^{n-2}tdt-{\sin }^{n-1}x\cos x.$

Speziell ergibt sich für  $n=2$ 

${\int }_0^x{\sin }^{2}tdt=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x).$