Integration/Polynom/x^m (1-x)^n/Formel/Aufgabe/Lösung

Für ${}n=0$ und beliebiges ${}m$ ist

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}dx&=\int _{0}^{1}x^{m}dx\\&={\frac {1}{m+1}}x^{m+1}|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{m+1}}\\&={\frac {m!0!}{(m+0+1)!}},\end{aligned}}$

dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Aussage für ein festes ${}n$ und beliebiges ${}m$ schon bewiesen und es ist ${}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n+1}dx$ zu bestimmen. Wir wenden darauf partielle Integration an, wobei wir für ${}x^{m}$ die Stammfunktion ${}{\frac {1}{m+1}}x^{m+1}$ und für ${}(1-x)^{n+1}$ die Ableitung ${}-(n+1)(1-x)^{n}$ heranziehen. Es ist dann unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n+1}dx&={\frac {1}{m+1}}x^{m+1}(1-x)^{n+1}|_{0}^{1}+{\frac {n+1}{m+1}}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^{n}dx\\&={\frac {n+1}{m+1}}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^{n}dx\\&={\frac {n+1}{m+1}}{\frac {(m+1)!n!}{(m+1+n+1)!}}\\&={\frac {m!(n+1)!}{(m+(n+1)+2)!}},\end{aligned}}$

was die Behauptung ergibt.

Zur gelösten Aufgabe