Die
Substitution
wird folgendermaßen angewendet: Es soll das Integral
-
berechnet werden. Man muss dann eine Idee haben, dass durch die Substitution
-
![{\displaystyle {}t=\varphi (s)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c64c261a3a4687ffcd151e55b06b41b7ea55a8)
das Integral einfacher wird
(und zwar unter Berücksichtigung der Ableitung
und unter der Bedingung, dass die Umkehrfunktion
berechenbar ist).
Mit
und
liegt insgesamt die Situation
-
vor. In vielen Fällen kommt man mit gewissen Standardsubstitutionen weiter.
Bei einer Substitution werden drei Operationen durchgeführt.
- Ersetze
durch
.
- Ersetze
durch
.
- Ersetze die Integrationsgrenzen
und
durch
und
.
Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merkregel
-
![{\displaystyle {}dt=d\varphi (s)=\varphi '(s)ds\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259ae7475096e895117bd5611ef4bbd54b69a02b)
der man im Rahmen der Theorie der „Differentialformen“ auch eine inhaltliche Bedeutung geben kann.