Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Faktoriell/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}f\in R$ eine von ${}0$ verschiedene Nichteinheit von ${}R$. In ${}R_{p}$ gilt

${}f={\frac {g_{1}}{p^{n_{1}}}}\cdots {\frac {g_{s}}{p^{n_{s}}}}\,$

mit ${}g_{i}$, die in ${}R_{p}$ prim sind (ein Faktor kann eine Einheit sein). In ${}R$ gilt somit

${}p^{n}f=g_{1}\cdots g_{s}\,.$

Nach Fakt ist

${}g_{i}=h_{i}p^{r_{i}}\,$

mit Primelementen oder Einheiten ${}h_{i}$. Somit ist

${}p^{n}f=p^{r+r_{1}+\cdots +r_{s}}h_{1}\cdots h_{s}\,.$

Da ${}p$ kein Teiler der ${}h_{i}$ ist, kann man ${}p^{n}$ vollständig wegkürzen und erhält eine Zerlegung von ${}f$ in Primfaktoren.

Zur bewiesenen Aussage