Integritätsbereich/Reine quadratische Erweiterung/2 nicht 0/Quadratwurzeln/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit ${}2\neq 0$ und sei ${}r\in R$ ein Element, das in ${}R$ keine Quadratwurzel besitze. Wir betrachten die quadratische Ringerweiterung

${}R\subset R[X]/(X^{2}-r)=:S\,.$

Zeige, dass die Elemente ${}f\in R$, die in ${}S$ eine Quadratwurzel besitzen, von der Form

${}f=y^{2}\,$

mit ${}y\in R$ oder von der Form

${}f=rz^{2}\,$

mit ${}z\in R$ sind.

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