Interpolationssatz/Komplex/2 Punkte/Aufgabe/Lösung

Der Ansatz

{}P=aX+b\,

führt auf die beiden Gleichungen

{}a{\left(3-8{\mathrm {i} }\right)}+b=5-6{\mathrm {i} }\,

und

{}a{\left(2-7{\mathrm {i} }\right)}+b=4-3{\mathrm {i} }\,

besitzt. Somit ist

{}a{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}=1-3{\mathrm {i} }\,

und daher

{}{\begin{aligned}a&={\left(1-{\mathrm {i} }\right)}^{-1}{\left(1-3{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {1+{\mathrm {i} }}{2}}{\left(1-3{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {1+3-2{\mathrm {i} }}{2}}\\&=2-{\mathrm {i} }\end{aligned}}

und

{}b=5-6{\mathrm {i} }-{\left(2-{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-8{\mathrm {i} }\right)}=5-6{\mathrm {i} }+{\left(2+19{\mathrm {i} }\right)}=7+13{\mathrm {i} }\,.

Das gesuchte Polynom ist also

{}P={\left(2-{\mathrm {i} }\right)}X+7+13{\mathrm {i} }\,.