Intervall/Intervallüberdeckung/2/Stetige Funktion/Differenz/Aufgabe/Lösung

Es sei  $U=]a,b[$  und  $V=]c,d[$  mit

$a<c<b<d,$

bei einem leeren Durchschnitt ist die Aussage trivial (die äußeren Grenzen könnten auch dazugehören). Es sei  $ϵ>0$  derart, dass

$2ϵ<b-c$

ist. Wir definieren

$g(x):=\{\begin{array}{c}f(x)\text{ für }x\ge b-ϵ\\ f(x)\frac{x-c-ϵ}{b-c-2ϵ}\text{ für }x\in ]c+ϵ,b-ϵ[\\ 0\text{ für }x\le c+ϵ\end{array}$

und

$-h(x):=\{\begin{array}{c}0\text{ für }x\ge b-ϵ\\ f(x)\frac{-x+b-ϵ}{b-c-2ϵ}\text{ für }x\in ]c+ϵ,b-ϵ[\\ f(x)\text{ für }x\le c+ϵ.\end{array}.$

Diese Funktionen sind stetig, da die Werte an den Übergängen übereinstimmen. Es ist für  $x\in ]c+ϵ,b-ϵ[$ 

$\begin{array}{cc}g(x)-h(x)& =f(x)\frac{x-c-ϵ}{b-c-2ϵ}+f(x)\frac{-x+b-ϵ}{b-c-2ϵ}\\ & =f(x)\frac{x-c-ϵ-x+b-ϵ}{b-c-2ϵ}\\ & =f(x)\end{array}$

und außerhalb dieses Intervalls gilt diese Gleichung ebenfalls.

Zur gelösten Aufgabe