Invariantentheorie/8 3/Beispiel

$D ⟶ K / n$

Operation von $⟨ ξ_{n} ⟩$ auf $K^{n}$

in zwei Variablen $d (x) = 1$ $d (y) = n - 1$ $d (x) = ? ? ? x$ $ξ$ operiert durch $(\begin{matrix} ξ & 0 \\ 0 & ξ^{n - 1} \end{matrix})$ Invariantenring:
$v_{1} d_{1} + v_{2} d_{2} = 0 in K / n$

$v_{1} + v_{2} (n - 1) = 0 in K / n$

Lösungen:

$\begin{matrix} (n, 0) \\ (0, n) \\ (1, 1) \end{matrix} ⇝ K [X^{n}, Y^{n}, X Y]$

$K [X^{n}, Y^{n}, X Y] ≅ K [U, V, W] / (U V - W^{n})$

$A$ -Singularitäten
$A_{n - 1}$ -Quotientensingularitäten
$d (x) = 1 = d (y)$ in $K / n$ $(\begin{matrix} ξ & 0 \\ 0 & ξ^{n - 1} \end{matrix})$ $v_{1} + v_{2} = 0$ in $K / n$ Lösungen:
$\begin{matrix} (n, 0) \\ (n - 1, 1) \\ ⋮ \\ (1, n - 1) \\ (0, n) \end{matrix} ⇝ K [X^{n}, X^{n - 1} Y, X^{n - 2} y^{2}, \dots, y^{n}]$

Veronesering $⇝$ nach Gleichungen