Invertierungsfunktion/R/Höhere Ableitungen/Taylorpolynom/1/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)=-x^{-2}\,.$

2. Es ist

   ${}f^{\prime \prime }(x)={\left(-x^{-2}\right)}^{\prime }=2x^{-3}\,.$

3. Wir behaupten

   ${}f^{(n)}(x)=(-1)^{n}n!x^{-1-n}\,.$

   Dies beweisen wir durch Induktion nach ${}n$. Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert. Der Induktionsschluss ergibt sich durch

   ${}{\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)&={\left(f^{(n)}(x)\right)}'\\&={\left((-1)^{n}n!x^{-1-n}\right)}'\\&=(-1)^{n}n!(-1-n)x^{-1-n-1}\\&=(-1)^{n+1}n!(n+1)x^{-1-(n+1)}\\&=(-1)^{n+1}(n+1)!x^{-1-(n+1)}.\end{aligned}}$

4. Das Taylorpolynom vom Grad ${}4$ mit Entwicklungspunkt ${}1$ ist

   $1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+(x-1)^{4}.$

5. Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der ${}n$-te Koeffizient der Taylorreihe gleich

   ${}a_{n}=(-1)^{n}{\frac {n!}{n!}}=(-1)^{n}\,$

   ist, also ist die Taylorreihe gleich

   $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(x-1)^{n}.$

Zur gelösten Aufgabe