Irrationale Zahl/Untergruppe/Kein Erzeuger/Kein minimales Element/Aufgabe/Lösung

a) Das Nullelement ergibt sich für ${}a=b=0$, wegen

${}(a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u\,$

ist ${}G$ unter der Addition abgeschlossen und wegen

${}-(a+bu)=-a-bu\,$

gehören auch die Negativen dazu.

b) Nehmen wir

${}G=\mathbb {Z} v\,$

mit einem ${}v\in \mathbb {R}$ an. Dann ist einerseits

${}v=a_{0}+b_{0}u\,$

mit gewissen ${}a_{0},b_{0}\in \mathbb {Z}$ und andererseits

${}u=rv=r(a_{0}+b_{0}u)\,$

mit einem ${}r\in \mathbb {Z}$, ${}r\neq 0$. Daraus folgt

${}{\left(1-rb_{0}\right)}u=ra_{0}\,$

Aus der Irrationalität von ${}u$ ergibt sich

${}1-rb_{0}=0=a_{0}\,,$

also

${}r=b_{0}=\pm 1\,.$

Dann ist

${}v=\pm u\,,$

also

${}G=\mathbb {Z} u\,.$

Dann wäre

${}1=cu\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {Z}$ was wegen der Irrationalität von ${}u$ nicht möglich ist.

c) Nehmen wir an, es sei ${}w>0$ das minimale positive Element aus ${}G$. Wir behaupten, dass dann

${}G=\mathbb {Z} w\,$

wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also

${}g=a+bv>0\,$

positiv (bei ${}g$ negativ geht man zum Negativen davon über). Dann ist nach Voraussetzung

${}g\geq w\,.$

Wir betrachten ${}g-w,g-2w,g-3w,\ldots$ bis wir zu einem ${}g-kw$ mit

${}0\leq g-kw<w\,$

angelangen. Wegen ${}g-kw\in G$ muss

${}0=g-kw\,$

sein, also

${}g\in \mathbb {Z} w$.

Zur gelösten Aufgabe