Irrationale Zahl/Untergruppe/Kein Erzeuger/Kein minimales Element/Aufgabe/Lösung

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  1. Das Nullelement ergibt sich für , wegen

    ist unter der Addition abgeschlossen und wegen

    gehören auch die Negativen dazu.

  2. Nehmen wir

    mit einem an. Dann ist einerseits

    mit gewissen und andererseits

    mit einem , . Daraus folgt

    Aus der Irrationalität von ergibt sich

    also

    Dann ist

    also

    Dann wäre

    mit einem was wegen der Irrationalität von nicht möglich ist.

  3. Nehmen wir an, es sei das minimale positive Element aus . Wir behaupten, dass dann

    wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Sei also

    positiv (bei negativ geht man zum Negativen davon über). Dann ist nach Voraussetzung

    Wir betrachten bis wir zu einem mit

    angelangen. Wegen muss

    sein, also .