Irreduzible Varietät/Verschwindungsideal ist prim/Aufgabe/Lösung

Es sei angenommen, dass ${}\operatorname {Id} \,(V)$ kein Primideal ist. Bei ${}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist ${}V=\emptyset$, also ist ${}V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome ${}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}FG\in \operatorname {Id} \,(V)$, aber ${}F,G\not \in \operatorname {Id} \,(V)$. Dies bedeutet, dass es Punkte ${}P,Q\in V$ gibt mit ${}F(P)\neq 0$ und ${}G(Q)\neq 0$. Wir betrachten die beiden Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{1}=\operatorname {Id} \,(V)+(F)$ und ${}{\mathfrak {a}}_{2}=\operatorname {Id} \,(V)+(G)$. Daher ist

${}V({\mathfrak {a}}_{1}),V({\mathfrak {a}}_{2})\subseteq V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,.$

Wegen ${}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$ und ${}Q\not \in V({\mathfrak {a}}_{2})$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

${}V({\mathfrak {a}}_{1})\cup V({\mathfrak {a}}_{2})=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2})=V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,,$

sodass eine nicht-triviale Zerlegung von ${}V$ vorliegt und somit ${}V$ nicht irreduzibel ist.

Zur gelösten Aufgabe