Irreduzible Varietät/Verschwindungsideal ist prim/Aufgabe/Lösung

Es sei angenommen, dass $\mathrm{Id}(V)$ kein Primideal ist. Bei $\mathrm{Id}(V)=K[X_1,\dots ,X_n]$ ist $V=\mathrm{\varnothing }$, also ist $V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome $F,G\in K[X_1,\dots ,X_n]$ mit $FG\in \mathrm{Id}(V)$, aber $F,G\in ̸\mathrm{Id}(V)$. Dies bedeutet, dass es Punkte $P,Q\in V$ gibt mit $F(P)\ne 0$ und $G(Q)\ne 0$. Wir betrachten die beiden Ideale ${𝔞}_1=\mathrm{Id}(V)+(F)$ und ${𝔞}_2=\mathrm{Id}(V)+(G)$. Daher ist

$V({𝔞}_1),V({𝔞}_2)\subseteq V(\mathrm{Id}(V))=V.$

Wegen $P\in ̸V({𝔞}_1)$ und $Q\in ̸V({𝔞}_2)$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

$V({𝔞}_1)\cup V({𝔞}_2)=V({𝔞}_1\cdot {𝔞}_2)=V(\mathrm{Id}(V))=V,$

sodass eine nicht-triviale Zerlegung von $V$ vorliegt und somit $V$ nicht irreduzibel ist.

Zur gelösten Aufgabe