Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt

Eine (abstrakte) WM-Gruppe ist im Folgenden eine Gewinnrelation auf einer vierelementigen Menge.

1. Überlegen Sie sich Eigenschaften, die für das strukturelle Verständnis von WM-Gruppen relevant sind. Beziehen sich die Eigenschaften auf die Gruppe als Ganzes oder auf einzelne Teams in der Gruppe?
2. Denken Sie sich Bezeichnungen für Eigenschaften aus, die Sie für das Verständnis von strukturellen Eigenschaften von WM-Gruppen relevant finden.
3. Können Sie sich unter den folgenden Begriffen etwas vorstellen, wie würden Sie diese Begriffe definieren? Eine hierarchische Gruppe Ein dominantes Element (oder Team) in einer Gruppe. Ein neutrales Element, ein rezessives Element. Ein (paradoxer) Zykel in einer Gruppe. Äquivalente Teams Eine geordnete Gruppe Eine ausgeglichene Gruppe Eine transitive Gruppe Ein Automorphismus (oder Selbst-Isomorphismus)
4. Was ist mit einer numerischen Invariante einer WM-Gruppe gemeint?
5. Kann man aus der Punktabschlusstabelle (in der ${}3-1-0$-Zählweise) einer WM-Gruppe die Gesamtanzahl der Siege ablesen? Gibt es dafür eine Formel?
6. Kann es die folgenden Punktabschlusstabellen geben?

   $5-5-4-3,$

   $5-5-4-1,$

   $5-5-4-0,$

   $5-5-5-2.$

7. Finden Sie ein Beispiel für Gruppen, die zueinander nicht isomorph sind, die aber die gleiche Punktabschlusstabelle besitzen.
8. In einer Punktabschlusstabelle besitze ein Team ${}3$ Punkte. Kann man aus der Punktabschlusstabelle erschließen, ob dieses Team einmal gewonnen (und zweimal verloren) oder dreimal unentschieden gespielt hat?
9. Welche abstrakten WM-Gruppen (welcher Isomorphietyp) kommen historisch besonders häufig vor? Wie kann man das erklären?