Jordan-Block/2/Potenzen/Induktion/Aufgabe/Lösung

Für

$n=0,1$

ist die Aussage klar. Es sei die Aussage für $n$ bewiesen. Dann ist

$\begin{array}{cc}{M}^{n+1}& =M^n\circ M\\ & ={\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)}^n\circ \left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^n& n{\lambda }^{n-1}\\ 0& {\lambda }^n\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^{n+1}& {\lambda }^n+n{\lambda }^{n-1}\cdot \lambda \\ 0& {\lambda }^{n+1}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^{n+1}& (n+1){\lambda }^n\\ 0& {\lambda }^{n+1}\end{array}\right).\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe