Jordan-Block/2/Potenzen/Konvergenzverhalten/Beispiel

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}\,$

mit ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$. Dann ist nach Aufgabe

${}M^{n}={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}&n\lambda ^{n-1}\\0&\lambda ^{n}\end{pmatrix}}\,.$

Für

${}\vert {\lambda }\vert <1\,$

konvergiert diese Matrixfolge gegen die Nullmatrix, da jeder Eintrag gegen ${}0$ konvergiert, für

${}\lambda =1\,$

konvergiert die Folge nicht, da der Eintrag rechts oben nicht konvergiert und noch nicht einmal beschränkt ist. Dies ist generell bei ${}\vert {\lambda }\vert \geq 1$ der Fall.