Jordanmatrix/Nilpotent/Kernfolge/Fahne/Aufgabe/Lösung

Die nilpotente $n\times n$-Jordanmatrix hat die Gestalt

$\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& 0& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& 1& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 0& 1\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0& 0\end{array}\right).$

Die zugehörige lineare Abbildung $\phi$ ist also durch

$e_1\mapsto 0,e_2\mapsto e_1,e_3\mapsto e_2,\dots ,e_{n-1}\mapsto e_{n-2},e_n\mapsto e_{n-1}$

gegeben. Die $i$-te Iteration ${\phi }^i$ davon bildet somit $e_k$ auf

$e_{k-i},\text{ falls }k>i\text{ und }0,\text{ falls }k\le i$

ab. Daher gehören die $e_1,\dots ,e_i$ zum Kern von ${\phi }^i$. Die Basisvektoren $e_{i+1},\dots ,e_n$ werden hingegen unter ${\phi }^i$ auf die linear unabhängigen Vektoren $e_1,\dots ,e_{n-i}$ abgebildet. Daher ist der Rang gleich $n-i$ und es ist

$\mathrm{kern}{\phi }^i=⟨e_1,\dots ,e_i⟩$

mit der Dimension $i$. Die Kerne $\mathrm{kern}{\phi }^i$ bilden also eine aufsteigende Kette von Untervektorräumen, wobei die Dimensionen um $1$ wachsen. Es liegt also eine Fahne vor.

Zur gelösten Aufgabe