Jordansche Normalform/4/Konstante Diagonale/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Die jordanschen Normalformen von der gesuchten Form haben jedenfalls die Gestalt

$\left(\begin{array}{cccc}c& & 0& 0\\ 0& c& & 0\\ 0& 0& c& \\ 0& 0& 0& c\end{array}\right),$

wobei an den Freistellen eine $0$ oder eine $1$ stehen kann. Wir behaupten, dass die Matrizen

$\left(\begin{array}{cccc}c& 0& 0& 0\\ 0& c& 0& 0\\ 0& 0& c& 0\\ 0& 0& 0& c\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}c& 1& 0& 0\\ 0& c& 0& 0\\ 0& 0& c& 0\\ 0& 0& 0& c\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}c& 1& 0& 0\\ 0& c& 1& 0\\ 0& 0& c& 0\\ 0& 0& 0& c\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}c& 1& 0& 0\\ 0& c& 0& 0\\ 0& 0& c& 1\\ 0& 0& 0& c\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}c& 1& 0& 0\\ 0& c& 1& 0\\ 0& 0& c& 1\\ 0& 0& 0& c\end{array}\right)$

eine vollständige Liste der nichtähnlichen Matrizen in jordanscher Normalform sind. Die beiden Matrizen

$\left(\begin{array}{cccc}c& 0& 0& 0\\ 0& c& 1& 0\\ 0& 0& c& 0\\ 0& 0& 0& c\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{cccc}c& 0& 0& 0\\ 0& c& 0& 0\\ 0& 0& c& 1\\ 0& 0& 0& c\end{array}\right)$

sind zur zweiten Matrix der Liste ähnlich, da sie ebenso aus zwei Einerblöcken und einem Zweierblock bestehen. Die Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}c& 0& 0& 0\\ 0& c& 1& 0\\ 0& 0& c& 1\\ 0& 0& 0& c\end{array}\right)$

ist zur dritten Matrix ähnlich, da sie ebenfalls aus einem Dreierblock und einem Einerblock besteht. Die fünf angegebenen Matrizen sind paarweise zueinander unähnlich, da die Anzahl der Jordanblöcke und ihre Größe eine Invariante der Abbildung ist.

Zur gelösten Aufgabe