Jordansche Normalform/Jordan-Matrix/3/Potenzen/Aufgabe/Lösung

Die Matrix ${}M$ selbst ist eine Jordan-Matrix, also in jordanscher Normalform. Es ist

${}{\begin{aligned}M^{2}&={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Diese Abbildung sendet ${}e_{3}\mapsto e_{1}$ und ${}e_{1},e_{2}\mapsto 0$. Die jordansche Normalform davon ist also

${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Alle höheren Potenzen von ${}M$ sind die Nullmatrix und dies ist ihre jordansche Normalform.

Zur gelösten Aufgabe