Jordansche Normalform/Jordan-Matrix/4/Potenzen/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}M^{2}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}M^{3}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

die höheren Potenzen sind die Nullmatrix. Die Wirkungsweise von ${}M^{2}$ ist somit ${}e_{4}\mapsto e_{2}\mapsto 0$ und ${}e_{3}\mapsto e_{1}\mapsto 0$, die jordansche Normalform ist also

${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Die Wirkungsweise von ${}M^{3}$ ist ${}e_{4}\mapsto e_{1}\mapsto 0$ und ${}e_{2},e_{3}\mapsto 0$, die jordansche Normalform ist also

${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Von allen höheren Potenzen ist die Nullmatrix die jordansche Normalform.

Zur gelösten Aufgabe