K^n/Polynomiale Funktion/Wirkungsweise/Bemerkung

Machen wir uns die Wirkungsweise eines Polynoms ${}f$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ als Funktion

${\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

klar. An einer Stelle ${}b=\left(b_{1},\,\ldots ,\,b_{n}\right)\in {\mathbb {K} }^{n}$ ergibt sich ${}f(b)$ einfach dadurch, dass man für die Variable ${}x_{i}$ überall die Zahl ${}b_{i}$ einsetzt und alles in ${}{\mathbb {K} }$ ausrechnet. Die Variable ${}x_{i}$ ist somit einfach die ${}i$-te Projektion

${\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,\left(b_{1},\,\ldots ,\,b_{n}\right)\longmapsto b_{i}.$

Zumeist benennt man die Koordinaten einfach wieder mit ${}x_{i}$. Die Summe und die Produkte von polynomialen Funktionen sind wieder polynomial, und zwar ergibt sich die Summe einfach dadurch, dass man monomweise addiert, und das Produkt dadurch, dass man distributiv ausmultipliziert. Auch wenn man Polynome in andere Polynome einsetzt, ergibt sich wieder ein Polynom.