Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
2. Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. Die Körpererweiterung ist normal.
   2. Wenn ein irreduzibles Polynom ${}P\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}L$ besitzt, so zerfällt es in ${}L[X]$.
   3. Es gibt ein ${}K$-Algebraerzeugendensystem ${}x_{i}\in L$, ${}i\in I$, von ${}L$ und über ${}L$ zerfallende Polynome ${}F_{i}\in K[X]$, ${}F_{i}\neq 0$ , ${}i\in I$, mit ${}F_{i}(x_{i})=0$.
   4. Für jede Körpererweiterung ${}L\subseteq M$ und jeden ${}K$-Algebrahomomorphismus

      $\varphi \colon L\longrightarrow M$

      ist ${}\varphi (L)\subseteq L$.

3. Es sei ${}G$ eine mit zwei Punkten ${}0$ und ${}1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei ${}a\in G_{+}$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel ${}{\sqrt {a}}$ aus ${}0,1,a$ mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.

Zur gelösten Aufgabe