Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

   ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

   ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

   derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$

   ist.
2. Es sei ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Es sei ${}p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass ${}p$ den Leitkoeffizienten ${}c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass ${}p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten ${}c_{0}$ teilt. Dann ist ${}F$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.
3. Es sei ${}K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Dann ist

   ${}\operatorname {trdeg} {\left(M/K\right)}=\operatorname {trdeg} {\left(L/K\right)}+\operatorname {trdeg} {\left(M/L\right)}\,.$

Zur gelösten Aufgabe