Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

Seien ${}R,S$ und ${}T$ kommutative Ringe, es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und ${}\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$
ist.
Zu jeder echten Primzahlpotenz ${}p^{e}$ gibt es bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper mit ${}p^{e}$ Elementen.
Es sei ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$ ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper und ${}z\in {\mathbb {C} }$ ${}z\in {\mathbb {C} }$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. Die komplexe Zahl ${}z$ ist aus ${}K$ konstruierbar.
2. Es gibt in ${}{\mathbb {C} }$ eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen
  ${}K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L\,$
  
  mit ${}z\in L$ .
3. Das Element ${}z$ ist algebraisch über ${}K$ , und der Grad des Zerfällungskörpers von ${}z$ über ${}K$ ist eine Zweierpotenz.
4. Das Element ${}z$ ist algebraisch über ${}K$ , und die Ordnung der Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von ${}z$ über ${}K$ ist eine Zweierpotenz.
5. Es gibt eine endliche Galoiserweiterung ${}K\subseteq M$ mit ${}z\in M$ , deren Grad eine Zweierpotenz ist.