Körper/Charakteristik p/Vollkommen/Frobenius surjektiv/Aufgabe/Lösung

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Es sei der Frobenius surjektiv, d.h. für jedes gibt es ein mit . Es sei ein irreduzibles Polynom. Es ist zu zeigen, dass und teilerfremd sind, und die einzige Möglichkeit, dass dies nicht der Fall ist, ist, dass

ist. In diesem Fall dürfen aber in nur Potenzen von vorkommen, deren Exponent ein Vielfaches von ist, also

Es seien -te Wurzeln aus . Dann ist mit

aber

im Widerspruch zur Irreduzibilität von .

Es sei nun der Frobenius nicht surjektiv, und es sei ein Element, das in keine -te Wurzel besitzt. Es sei ein Erweiterungskörper, in dem eine -te Wurzel besitzt. Den Körper erhält man als , wobei ein irreduzibler Teiler von ist. In gilt

und somit hat in auch das Polynom mehrfache Nullstellen und ist somit nicht separabel.
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