Körper/F8/Restklassendarstellung und primitive Einheit/Aufgabe/Lösung

Wir brauchen ein irreduzibles Polynom vom Grad drei in ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$. Bei Grad drei kann man die Irreduzibilität dadurch nachweisen, dass keine Nullstelle vorliegt. Betrachten wir

$F=X^{3}+X+1.$

Weder ${}0$ noch ${}1$ sind Nullstellen, daher ist das Polynom irreduzibel und daher ist

$K=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{3}+X+1)$

ein Körper mit ${}8$ Elementen.

Da es in ${}{\mathbb {F} }_{8}$ genau ${}7$ Einheiten gibt, und die Einheiten eine zyklische Gruppe bilden, ist jede Einheit außer ${}1$ primitiv. Beispielsweise ist daher die Restklasse von ${}X$ in ${}K$ primitiv.

Zur gelösten Aufgabe