Körper/Genau zwei Ideale/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann enthält ${}I$ ein Element  ${}x\neq 0$,  das eine Einheit ist. Damit ist  ${}1=xx^{-1}\in I$  und damit  ${}I=R$. 

Es sei umgekehrt ${}R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann ${}R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun ${}x$ ein von ${}0$ verschiedenes Element in ${}R$. Das von ${}x$ erzeugte Hauptideal ${}Rx$ ist ${}\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass  ${}1\in Rx$  ist. Das bedeutet also  ${}1=xr$  für ein  ${}r\in R$,  sodass ${}x$ eine Einheit ist.

Zur bewiesenen Aussage