Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Anzahl wohldefiniert/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}m$ die minimale Zahl derart, dass es eine Transzendenzbasis mit ${}m$ Elementen gibt. Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ eine Transzendenzbasis und ${}g_{1},\ldots ,g_{n}$ eine weitere Transzendenzbasis mit

${}n\geq m\,$

Elementen. Wir wenden Fakt sukzessive an und erhalten Transzendenzbasen

$g_{j_{1}},f_{2},\ldots ,f_{m},$

$g_{j_{1}},g_{j_{2}},f_{3},\ldots ,f_{m},$

$\ldots$

$g_{j_{1}},g_{j_{2}},g_{j_{3}},\ldots ,g_{j_{m-1}},f_{m},$

$g_{j_{1}},g_{j_{2}},g_{j_{3}},\ldots ,g_{j_{m-1}},g_{j_{m}},$

wobei die ${}g_{j_{i}}$ Elemente der zweiten Familie sind. Die letzte Familie ist eine Transzendenzbasis mit ${}m$ Elementen (es kann keine Elementwiederholungen geben wegen der vorausgesetzen Minimalität von ${}m$). Bei ${}n>m$ würde sich ein Widerspruch ergeben, da eine echte Teilfamilie einer Transzendenzbasis keine Transzendenzbasis sein kann, also ist ${}n=m$.

Zur bewiesenen Aussage