Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Austauscheigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass man ${}f_{m}$ durch eines der ${}g_{j}$ ersetzen kann. Da die Körpererweiterung ${}K(f_{1},\ldots ,f_{m})\subseteq L$ algebraisch ist, gibt es zu jedem ${}g_{j}$ ein irreduzibles Polynom ${}P_{j}\in K(f_{1},\ldots ,f_{m})[T]$ mit ${}P_{j}(g_{j})=0$. Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner sämtlicher Koeffizienten der ${}P_{j}$ und können dann annehmen, dass ${}P_{j}\in K[f_{1},\ldots ,f_{m}][T]$ gilt. Nehmen wir an, dass sämtliche ${}P_{j}$ sogar zu ${}K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}][T]$ gehören. Dann wäre die Körperkette

${}K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})\subseteq K(g_{1},\ldots ,g_{n})\subseteq L\,$

eine nach Aufgabe algebraische Erweiterung und insbesondere wäre ${}f_{m}$ algebraisch über ${}K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die ${}f_{i}$ algebraisch unabhängig sind. Es gibt also ein ${}P_{j}$ mit ${}P_{j}\notin K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}][T]$. Wir schreiben

${}P_{j}=\sum _{k=0}^{r}\alpha _{k}T^{k}\,$

mit

${}\alpha _{k}=\sum _{\ell =0}^{s}\beta _{k,\ell }f_{m}^{\ell }\,$

und ${}\beta _{k,\ell }\in K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}]$. Dabei ist zumindest ein ${}\beta _{k,\ell }\neq 0$ für ein ${}\ell \geq 1$. Daher können wir die Gleichung ${}P_{j}(g_{j})=0$ als eine algebraische Gleichung für ${}f_{m}$ über ${}K[f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j}]$ lesen. Dies bedeutet, dass ${}f_{m}$ algebraisch über ${}K(f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j})$ ist.

Wir behaupten, dass ${}f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j}$ eine Transzendenzbasis von ${}L$ über ${}K$ ist, wobei wir gerade gezeigt haben, dass ${}L$ darüber algebraisch ist. Es ist zu zeigen, dass diese Elemente algebraisch unabhängig sind. Wären sie algebraisch abhängig, so müsste ${}g_{j}$ algebraisch über ${}K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})$ sein. Doch dann wäre, wieder wegen der Transitivität von algebraisch, auch ${}f_{m}$ algebraisch über ${}K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur gelösten Aufgabe