Körpererweiterung/Q/X^2-3/Algebraische Sichtweise/Beispiel

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Wir betrachten das Polynom , dessen Koeffizienten zu gehören. In den reellen Zahlen besitzt dieses Polynom die Nullstelle , die irrational ist. Über hat man die Zerlegung . Um dies auszudrücken, braucht man aber nicht die gesamten reellen Zahlen, sondern lediglich , das man einfach als ein Symbol auffassen kann mit der Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich sein soll. Eine „Verortung“ innerhalb der reellen Zahlen ist dazu nicht nötig. Präziser formuliert betrachtet man

also einen zweidimensionalen -Vektorraum mit den Basiselementen und , wobei eine Multiplikation durch die Bedingung (und distributive Fortsetzung) festgelegt wird. Das Element ist hier lediglich ein Symbol, für das man häufig wegen der intendierten Eigenschaft auch schreibt (man schreibt auch ). In gilt die Zerlegung , und wegen

handelt es sich um einen Körper. Dazu muss man sich klar machen, dass bei mit rationalen Zahlen , die nicht beide sind, auch ist, was äquivalent zur Irrationalität von ist. Es sind also wesentliche Eigenschaften des Polynoms , die über sichtbar werden, bereits über sichtbar. Es gibt aber auch Unterschiede, beispielsweise sind bei dieser algebraischen Konstruktion von die beiden Elemente und vollkommen gleichberechtigt, während innerhalb der reellen Zahlen die eine Quadratwurzel positiv und die andere negativ ist. Diese Gleichberechtigung zeigt sich auch darin, dass durch

eine „Konjugation“ definiert wird, die es innerhalb der reellen Zahlen nicht gibt.