Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe/Lösung

Dies beruht unter Verwendung von

α^{3} = 3 α - 1

auf den Rechnungen

\begin{matrix} β^{3} - 3 β + 1 & = {(α^{2} - 2)}^{3} - 3 (α^{2} - 2) + 1 \\ = α^{6} - 6 α^{4} + 12 α^{2} - 8 - 3 α^{2} + 6 + 1 \\ = α^{6} - 6 α^{4} + 9 α^{2} - 1 \\ = 9 α^{2} - 6 α + 1 - 6 α (3 α - 1) + 9 α^{2} - 1 \\ = 0 \end{matrix}

und

\begin{matrix} γ^{3} - 3 γ + 1 & = - {(α^{2} + α - 2)}^{3} + 3 (α^{2} + α - 2) + 1 \\ = - α^{6} - 3 α^{5} + 3 α^{4} + 11 α^{3} - 6 α^{2} - 12 α + 8 + 3 α^{2} + 3 α - 6 + 1 \\ = - {(3 α - 1)}^{2} - 3 α^{2} (3 α - 1) + 3 α (3 α - 1) + 11 (3 α - 1) - 3 α^{2} - 9 α + 3 \\ = - 9 α^{2} + 6 α - 9 (3 α - 1) + 3 α^{2} + 9 α^{2} - 3 α + 33 α - 11 - 3 α^{2} - 9 α + 2 \\ = - 9 α^{2} + 6 α - 27 α + 9 + 3 α^{2} + 9 α^{2} - 3 α + 33 α - 11 - 3 α^{2} - 9 α + 2 \\ = 0. \end{matrix}