K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische Funktion auf offener Menge/Ring/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir müssen zeigen, dass die konstante Nullfunktion und die konstante Einsfunktion auf , das Negative einer algebraischen Funktion, und die Summe und das Produkt von zwei algebraischen Funktionen auf wieder algebraisch sind. Wir beschränken uns auf die Summe der algebraischen Funktionen und . Sei ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es Elemente mit

und

Sei . Dann ist . Für einen beliebigen Punkt ist dann

was eine polynomiale Darstellung der Summenfunktion in der Zariski-offenen Umgebung des Punktes ergibt.

Zur bewiesenen Aussage