Beweis
Wir müssen zeigen, dass die konstante Nullfunktion und die konstante Einsfunktion auf
, das Negative einer algebraischen Funktion, und die Summe und das Produkt von zwei algebraischen Funktionen auf
wieder algebraisch sind. Wir beschränken uns auf die Summe der algebraischen Funktionen
und
. Es sei
ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es Elemente
mit
-
und
-
Es sei
. Dann ist
. Für einen beliebigen Punkt
ist dann
-
![{\displaystyle (f_{1}+f_{2})(Q)=f_{1}(Q)+f_{2}(Q)={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}+{\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}={\frac {G_{1}(Q)H_{2}(Q)+G_{2}(Q)H_{1}(Q)}{H_{1}(Q)H_{2}(Q)}}={\frac {(G_{1}H_{2}+G_{2}H_{1})(Q)}{(H_{1}H_{2})(Q)}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266d7519850a4fc8542828a042310030eea3b1f5)
was eine polynomiale Darstellung der Summenfunktion in der Zariski-offenen Umgebung
des Punktes
ergibt.