K-Spektrum/Bijektion mit abgeschlossener Teilmenge/Aufgabe/Lösung

Wir bilden einen Punkt ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, der ja einem ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow K$ entspricht, ab auf den Punkt mit den Koordinaten

${}{\tilde {P}}=(\varphi (X_{1}),\ldots ,\varphi (X_{n}))\,.$

Dabei fassen wir ${}\varphi$ über den Restklassenhomomorphismus ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow R$ als Homomorphismus auf dem Polynomring auf. Für jedes ${}F\in {\mathfrak {a}}$ wird ${}F$ unter dem zusammengesetzten Homomorphismus auf ${}0$ abgebildet, sodass also ${}F$ in ${}{\tilde {P}}$ verschwindet. Dies bedeutet, dass die Abbildung in ${}V({\mathfrak {a}})$ landet.

Zur Injektivität seien zwei verschiedene ${}K$-Algebrahomomorphismen gegeben. Diese müssen sich auch auf mindestens einem Algebraerzeuger unterscheiden, sodass mindestens eine Koordinate verschieden sein muss.

Für einen Punkt ${}Q=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V({\mathfrak {a}})$ mit zugehörigem Einsetzungshomomorphismus ${}X_{i}\mapsto a_{i}$ geht jedes ${}F\in {\mathfrak {a}}$ auf ${}0$. Dieser Einsetzungshomomorphismus faktorisiert also durch ${}R$ und liefert das Urbild des Punktes.

Zur gelösten Aufgabe