KXY/(X,Y)/Kein Hauptideal/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass

$(X,Y)=(F)$

mit einem Polynom $F\in K[X,Y]$ ist. Dann ist insbesondere $X=GF$ und $Y=HF$. Betrachtet man die erste Gleichung als Gleichung in $(K[Y])[X]$, so ergibt sich, dass $F$ zu $X$ assoziiert oder eine Einheit ist. Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung folgt, dass $F$ eine Einheit sein muss. In diesem Fall ist aber

$(X,Y)\subset (F)=K[X,Y],$

da keine Linearkombination von $X$ und $Y$

gleich $1$ ist.

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