Kartesisches Blatt/Schnittmultiplizität im Nullpunkt/Mit jeder Geraden/Aufgabe/Lösung

Wenn die Gerade nicht durch den Nullpunkt läuft, so ist die Schnittmultiplizität null. Betrachten wir also die Geraden durch den Nullpunkt, die man als ${}V(Y-aX)$ oder als ${}V(Y)$ beschreiben kann. Bei ${}V(Y)$ ergibt sich der Restklassenring

${}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y,X^{3}+Y^{3}-3XY)=K[X]_{(X)}/(X^{3})\,.$

Dieser Ring hat die ${}K$-Dimension, die Schnittmultiplizität ist also ${}3$. Wegen der Symmetrie der Situation gilt dies auch für die Gerade ${}V(X)$. Betrachten wir nun eine Gerade ${}V(Y-aX)$ mit ${}a\neq 0$. Dann ist der Restklassenring gleich

${}{\begin{aligned}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y-aX,X^{3}+Y^{3}-3XY)&=K[X]_{(X)}/(X^{3}+a^{3}X^{3}-3aX^{2})\\&=K[X]_{(X)}/(X^{2}(-3a+(1+a^{3})X)).\end{aligned}}$

Da ${}3\neq 0$ ist, ist der hintere Faktor eine Einheit, sodass es sich um den Ring ${}K[X]/(X^{2})$ handelt mit Dimension zwei.

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