Kein Ringhomomorphismus/C nach R/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass es einen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R}$

gebe. Dann wäre

${}\varphi ({\mathrm {i} })\cdot \varphi ({\mathrm {i} })=\varphi ({\mathrm {i} }\cdot {\mathrm {i} })=\varphi (-1)=-1\,.$

In ${}\mathbb {R}$ sind aber alle Quadrate positiv und ${}-1$ besitzt keine Quadratwurzel, sodass ein Widerspruch vorliegt.

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