Kern/Lineare Abbildung/2 3 0 -1/4 2 2 5/Aufgabe/Lösung

Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

$I\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+3y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-w=0$

$II\,\,\,\,\,\,4x+2y+2z+5w=0.$

Es ist

$III=II-2\cdot I\,\,\,\,\,\,-4y+2z+7w=0.$

Damit haben wir Stufengestalt erreicht.

Wir wählen  ${}w=0$  und  ${}z=2$.  Dann ist  ${}y=1$  nach III und nach I ist  ${}x=-{\frac {3}{2}}$.  Damit ist

${\begin{pmatrix}-{\frac {3}{2}}\\1\\2\\0\end{pmatrix}}$

eine Lösung.

Wir wählen jetzt  ${}w=1$  und  ${}z=0$.  Dann ist  ${}y={\frac {7}{4}}$  nach III und nach I ist

${}x=-{\frac {17}{8}}\,.$

Damit ist

${\begin{pmatrix}-{\frac {17}{8}}\\{\frac {7}{4}}\\0\\1\end{pmatrix}}$

eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang ${}2$ besitzt (was aus der Stufengestalt ablesbar ist), ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich

${\left\{a{\begin{pmatrix}-{\frac {3}{2}}\\1\\2\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}-{\frac {17}{8}}\\{\frac {7}{4}}\\0\\1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {R} \right\}}.$

Zur gelösten Aufgabe