Kettenregel/R/Rationale Funktionen/Bestätige/2/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}h(x)&=g(f(x))\\&={\frac {\frac {x}{x+1}}{{\frac {x}{x+1}}+2}}\\&={\frac {x}{x+2(x+1)}}\\&={\frac {x}{3x+2}}.\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}h'(x)={\frac {3x+2-3x}{(3x+2)^{2}}}={\frac {2}{(3x+2)^{2}}}={\frac {2}{9x^{2}+12x+4}}\,.$

3. Es ist

   ${}f'(x)={\frac {x+1-x}{(x+1)^{2}}}={\frac {1}{(x+1)^{2}}}\,$

   und

   ${}g'(y)={\frac {y+2-y}{(y+2)^{2}}}={\frac {2}{(y+2)^{2}}}\,.$

   Die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel ist

   ${}{\begin{aligned}h'(x)&=g'(f(x))\cdot f'(x)\\&={\frac {2}{{\left({\frac {x}{x+1}}+2\right)}^{2}}}\cdot {\frac {1}{(x+1)^{2}}}\\&={\frac {2}{(x+2(x+1))^{2}}}\\&={\frac {2}{(3x+2)^{2}}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe