Kindergeburtstag/7 nach 8/Aufgabe/Lösung

Es gibt ${}{\binom {30}{8}}$ gleichberechtigte Einladungsmöglichkeiten. Wenn eine achtelementige Teilmenge eine fixierte siebenelementige Teilmenge enthalten soll, so gibt es nur die Möglichkeit, die siebenelementige Menge um eine achte Person aus den verbleibenden ${}30-7=23$ Kindern zu ergänzen. Dafür gibt es also ${}23$ Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also

${}{\begin{aligned}{\frac {23}{\,\,{\binom {30}{8}}\,\,}}&={\frac {23}{\,\,{\frac {30\cdot 29\cdots 24\cdot 23}{8\cdot 7\cdots 2\cdot 1}}\,\,}}\\&={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24}}\\&={\frac {1}{15\cdot 29\cdot 9\cdot 13\cdot 5}}\\&={\frac {1}{254475}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe