Es sei x 1 , … , x n ∈ M n {\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}\in M^{n}} mit x r = x s {\displaystyle {}x_{r}=x_{s}} für r ≠ s {\displaystyle {}r\neq s} .
Es ist zu zeigen, dass ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ⋅ Ψ ( x σ ( 1 ) , . . . , x σ ( n ) ) = 0 {\displaystyle {}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\cdot \Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})=0} ist. Es sei hierzu τ {\displaystyle {}\tau } die Transposition, die r {\displaystyle {}r} und s {\displaystyle {}s} tauscht.
Durch π ↦ π ∘ τ {\displaystyle {}\pi \mapsto \pi \circ \tau } wird eine bijektive Abblidung von der alternierenden Gruppe A n {\displaystyle {}A_{n}} nach S n ∖ A n {\displaystyle {}S_{n}\setminus A_{n}} definiert.
da x σ ( τ ( r ) ) = x σ ( s ) {\displaystyle {}x_{\sigma (\tau (r))}=x_{\sigma (s)}} und x r = x s {\displaystyle {}x_{r}=x_{s}} ist, sind die beiden Summen identisch.
mit
für
.
ist.
Es sei hierzu 
die
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die 
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tauscht.
wird eine bijektive Abblidung von der
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ist, sind die beiden Summen identisch.
