Kommutative Algebra/Modultheorie/Entwicklungssatz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A\in R^{n\times n}$.

Dann lässt sich $det(A)$ für $1\le j\le n$ wie folgt rekursiv berechnen:

$det(A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}det(A_{ij})=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ji}det(A_{ji}).$

Dieses Verfahren zur Berechnung der Determinante nennt man Entwickeln nach der $j$-ten Spalte bzw. Zeile.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen