Kommutative Algebra/Modultheorie/Gleichheit bei Summierung zwischen Zeilen und Spalten/Bemerkung

Es ist

${}\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}\,.$

Dies ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma ^{-1})\prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma ^{-1}(i),i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}.\end{aligned}}$