Kommutative Algebra/Modultheorie/Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt/Beweis

Beweis

Für ${}i_{0}\in I$ ist ${}\Phi$ linear in der ${}i_{0}$-ten Komponente von ${}\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j},i\in I$. Daraus folgt

${}\Phi \left(\left(\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j}\right)_{i\in I}\right)=\sum _{k\in J}\Phi (f(i)_{i\in I})\,,$

mit

$(f(i))_{i\in I}={\begin{cases}\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j},{\text{ falls }}i\neq i_{0},\\a_{k,i_{0}}\cdot x_{k},\,{\text{ falls }}i=i_{0}\,.\end{cases}}$

Wiederholtes Anwenden dieses Schrittes auf die endlich vielen Komponenten ergibt:

${}\Phi \left(\left(\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j}\right)_{i\in I}\right)=\sum ...\sum \Phi (a_{j',i'}\cdot x_{j'})\,,$

wobei es für jedes ${}i\in I$ einmal summiert wird, was wiederum bedeutet:

${}\Phi {\left({\left(\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j}\right)}_{i\in I}\right)}=\sum _{j_{i}\in J^{I}}{\left({\left(\prod _{i\in I}a_{j,i}\right)}\Phi ((x_{j_{i}})_{i\in I})\right)}\,,$

denn die ${}a_{j,i}$ können aufgrund der Multilinearität jeweils aus den Komponenten herausgezogen werden.

Zur bewiesenen Aussage