Kommutative Algebra/Modultheorie/Multiplikativität der Determinante/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}det(A)det(B)&={\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}\right)}\cdot {\left(\sum _{\tau \in S_{n}}sgn(\tau )\prod _{j=1}^{n}b_{j,\tau (j)}\right)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}sgn(\sigma )sgn(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{i,\tau (i)},\end{aligned}}$

da für ${}\tau ,\sigma \in S_{n}\colon \tau \mapsto \tau \circ \sigma :=\lambda$ bijektiv ist ergibt sich:

${}{\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}sgn(\sigma )sgn(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{i,\tau (i)}&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}sgn(\sigma )sgn(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\tau \circ \sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\lambda (i)}.\end{aligned}}$

Andererseits ist

${}{\begin{aligned}det(A\cdot B)&=\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{j\lambda _{j}})\\&=\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\sum _{j_{i}}(\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\lambda (i)}\\&=\sum _{j_{i}}\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\lambda (i)},\end{aligned}}$

wobei ${}j,i\in \{1,...,n\}$ und ${}j_{i}\in \{1,...,n\}^{n}$ alle möglichen Kombinationen durchgeht. Sind in ${}j_{i}$ zwei Komponenten gleich, so ist:

${}{\begin{aligned}\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\lambda (i)}&=\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}b_{j_{i},\lambda (i)}\\&=\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}det(b_{j_{i},s})_{s\in \{1,...,n\}}\\&=0,\end{aligned}}$

denn in ${}b_{j_{i},s}$ sind zwei Zeilen gleich.

Und somit letztendlich:

${}det(A\cdot B)=\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\lambda (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\lambda (i)}=det(A)\cdot det(B)\,.$

Zur bewiesenen Aussage