Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Nur eine Bedingung/Beispiel

Die Gruppe ${}G={\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{(\mathbb {N} )}$ zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist nicht endlich erzeugt. Wenn ${}n$ teilerfremd zu ${}m$ ist, so ist

${}G/mG={\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{(\mathbb {N} )}/m{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{(\mathbb {N} )}={\left(\mathbb {Z} /(m,n)\right)}^{(\mathbb {N} )}=0\,.$

Nach Fakt kann es keine Höhenfunktion auf ${}G$ geben.

Auf ${}\mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} )}$ gibt es eine Höhenfunktion.