Kommutative Gruppen/Injektiver Homomorphismus/Torsionssequenz/Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ kommutative Gruppen und sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.

1. Zeige, dass dies einen Homomorphismus

   $\operatorname {Tor} {\left(G\right)}\longrightarrow \operatorname {Tor} {\left(H\right)}$

   zwischen den Torsionsuntergruppen und einen Homomorphismus

   $G/\operatorname {Tor} {\left(G\right)}\longrightarrow H/\operatorname {Tor} {\left(H\right)}$

   derart induziert, dass sich ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Tor} {\left(G\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G/\operatorname {Tor} {\left(G\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Tor} {\left(H\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H/\operatorname {Tor} {\left(H\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

   mit exakten Zeilen ergibt.

2. Sei ${}\varphi$ injektiv. Zeige, dass dann auch die induzierten Homomorphismen aus (1) injektiv sein müssen.
3. Sei ${}\varphi$ surjektiv. Müssen die induzierten Homomorphismen aus (1) surjektiv sein?

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