Kommutative Gruppen/Injektiver Homomorphismus/Torsionssequenz/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ kommutative Gruppen und sei $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus.

1. Zeige, dass dies einen Homomorphismus

   $\mathrm{Tors}\left(G\right)⟶\mathrm{Tors}\left(H\right)$

   zwischen den Torsionsuntergruppen und einen Homomorphismus

   $G/\mathrm{Tors}\left(G\right)⟶H/\mathrm{Tors}\left(H\right)$

   derart induziert, dass sich ein kommutatives Diagramm

   $\begin{array}{cccccccccc}0& \stackrel{}{⟶}& \mathrm{Tors}\left(G\right)& \stackrel{}{⟶}& G& \stackrel{}{⟶}& G/\mathrm{Tors}\left(G\right)& \stackrel{}{⟶}& 0& \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0& \stackrel{}{⟶}& \mathrm{Tors}\left(H\right)& \stackrel{}{⟶}& H& \stackrel{}{⟶}& H/\mathrm{Tors}\left(H\right)& \stackrel{}{⟶}& 0& \end{array}$

   mit exakten Zeilen ergibt.

2. Es sei $\phi$ injektiv. Zeige, dass dann auch die induzierten Homomorphismen aus (1) injektiv sein müssen.
3. Es sei $\phi$ surjektiv. Müssen die induzierten Homomorphismen aus (1) surjektiv sein?

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