Kommutative Monoidringe/A n/Differentialoperatoren/Positive Charakteristik/Beispiel

Wir betrachten den Monoidring ${}R=K[X,Y,Z]/(XY-Z^{p})$ in Charakteristik ${}p$. Die Realisierung als Unterring ${}K[U^{p},V^{p},UV]\subseteq K[U,V]$ gilt in jeder Charakteristik. Der Differentialoperator ${}\partial _{Z}$ induziert auf ${}R$ einen Differentialoperator, der die Ordnung ${}1$ besitzt und ${}Z$ auf ${}1$ abbildet. Wie verhält sich dieser zum kanonischen Operator ${}E_{\nu }$ mit

${}\nu =(1,1)=Z\,$

(in der Gitterrealisierung mit $(1,0)$ und $(p-1,p)$), also zum induzierten Operator zu ${}\partial _{U}\partial _{V}$, der im Allgemeinen eine Ordnung ${}2$ hat.

Beispielsweise ist

${}\partial _{Z}(X^{i}Z^{j})=jX^{i}Z^{j-1}\,$

und

${}{\begin{aligned}E_{Z}(X^{i}Z^{j})&=\partial _{U}\partial _{V}(U^{ip}(UV)^{j})\\&=\partial _{U}\partial _{V}(U^{ip+j}V^{j})\\&=(ip+j)jU^{ip-1}V^{j-1}\\&=j^{2}U^{ip+j-1}V^{j-1}\\&=j^{2}X^{i}Z^{j-1}.\end{aligned}}$