Kommutative Monoidringe/N^n/Signaturen/Beispiel

Wir betrachten den polyedrischen Kegel ${}\mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ mit dem zugehörigen Monoid ${}\mathbb {N} ^{n}$ und dem Monoidring

${}K[\mathbb {N} ^{n}]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$

Das Monoid wird erzeugt durch die Standardvektoren ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ und die begrenzenden Linearformen sind ${}\ell _{i}=e_{i}^{*}$, also die Dualbasis dazu. Durch die Hyperflächen ${}\ell _{i}=1$ und den Kegel wird der ${}n$-dimensionale Würfel eingegrenzt, der das Volumen ${}1$ besitzt. Durch die Bedingung

${}\ell _{1}+\cdots +\ell _{n}=1\,$

wird zusammen mit dem Kegel ein ${}n$-dimensionaler Standardsimplex festgelegt, der das Volumen ${}{\frac {1}{n!}}$ besitzt. Multipliziert mit ${}n!$ ergibt sich ${}1$.