Kommutative Monoidringe/Polynomring als Monoidring (mehrere Variablen)/Beispiel

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}M=\mathbb {N} ^{n}$ das ${}n$-fache direkte Produkt der natürlichen Zahlen. Ein Element ${}k\in \mathbb {N} ^{n}$ ist also ein ${}n$-Tupel ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})$ mit ${}k_{i}\in \mathbb {N}$. Dies kann man auch als

${}(k_{1},\ldots ,k_{n})=k_{1}(1,0,0,\ldots ,0)+k_{2}(0,1,0,\ldots ,0)+\ldots +k_{n}(0,0,0,\ldots ,1)\,$

schreiben. Damit lässt sich das zugehörige Monom ${}X^{k}$ eindeutig als

${}X^{k}=X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}\,$

schreiben, wobei wir ${}X_{i}=X^{e_{i}}=X^{(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$ für das Monom zum ${}i$-ten Basiselement geschrieben haben. Das bedeutet aber, dass der Monoidring zum Monoid ${}\mathbb {N} ^{n}$ über ${}R$ genau der Polynomring in ${}n$ Variablen ist. Insbesondere ist ${}R[\mathbb {N} ]=R[X]$. Der Monoidring zum trivialen Monoid ${}\{0\}$ ist der Grundring selbst.